( 初中数学 )
宜兴外国语学校 汤舟
判定两个三角形全等时，有这几种判定方法：边角边（SAS）,角边角(ASA)，角角边(AAS)，边边边(SSS)，直角三角形的斜边、直角边(HL)。在教学中，《探究两个三角形全等的条件》新课后，为了让学生形成更完整的认知结构，有必要对新知进行一番梳理与归纳。下面我谈谈通过设计一站式的探究题平台，让学生在动手操作中去发现去思考，先想后做，边做边想，分类讨论归纳整理，更有利于学生掌握两个三角形全等的条件，形成有条理的系统性的知识体系。
情境创设
如何探索“两个三角形需要具备什么条件，即它们有多少组边或角分别相等时就全等”这个问题？从一组边或角相等开始逐步增加条件来探索。
问题一：
从两个三角形的6个元素中，有1对元素相等的两个三角形是否全等？有2对元素分别相等的两个三角形是否全等？
满足1对元素或2对元素分别相等的两个三角形不全等，给学生思考的时间，用他们已有的对三角形边或角的认知去构造条件，画出反例。同时注意1对元素相等可以是一对边，也可以是一对角，2对元素分别相等有2对边、2对角、一对边一对角三种情况。
问题二：
从两个三角形的6个元素中，任意选取其中的3个，有多少种不同的选法？提出以上问题后，出示下面的探究题。
探究题一：两边和一角分别相等
已知△ABC和△DEF，请根据下列条件画出合适的图形，并判断两个三角形能否全等。
情形1：△ABC和△DEF中，AB=DE=3，BC=EF=2，∠B=∠D=30°。
情形2：△ABC和△DEF中，AB=DE=3，BC=EF=2，∠A=∠D=30°。
情形3：△ABC和△DEF中，AB=DE=3，BC=EF=2，∠B=∠E=30°。
设计这个探究题，目的是培养学生的独立思考和动手操作能力。让学生画出图形后能想一想，这些条件还能画出不同形状的其他三角形吗，引导他们从不同角度去思考问题，培养发散思维。根据画出来的图形是否能完全重合判断两个三角形能否全等，学生独立判断完成后，可以让他们在小组内探讨交流，让一些问题能在小伙伴间的互助合作中被发现与解决，同时也提高学生参与的积极性。讨论过后，选学生代表带上画好的图形上台投影展示与讲解，这同时也是集体纠错的过程。学生的认知或技能不是一蹴而就的，正是在不断演变和深化过程中形成，所以在学生讲解过程中允许他们出错，不当地方其他学生或者老师补充，最后让学生比一比此探究题的三种情形的联系与区别，作出以下判断：
情形1： 两边和一角分别相等的两个三角形不一定全等。
情形2： 两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形不一定全等。
情形3： 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
通过此探究题设计，让学生对两边和一角分别相等的几种情况有了比较完整的了解，突出了判定两个三角形全等的基本事实“边角边”中的角为什么必须是两边的夹角，也能轻松举出“边边角”的反例，更有助于学生获得完整的知识体验，弥补认知漏洞。
已知△ABC和△DEF，请根据下列条件画出合适的图形，并判断两个三角形能否全等。
情形1：△ABC和△DEF中，BC=EF=2，∠B=∠E=50°，∠C=∠D=60°。
情形2：△ABC和△DEF中，BC=EF=2，∠B=∠E=50°，∠C=∠F=60°。
情形3：△ABC和△DEF中，BC=EF=2，∠B=∠E=50°，∠A=∠D=60°。
设计此探究题，目的和上题一样，在探索两角和一边分别相等的活动中，让学生动手画，使学生在画中感受和体验——主动获取数学的知识，明晰有关三角形全等的条件。最后让学生比一比此探究题的三种情形的联系与区别，作出以下判断：
情形1：两角和一边分别相等的两个三角形不一定全等。
情形2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等。
情形3：两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等。
通过此题设计，学生讨论了两角和一边分别相等的几种情况，不同于上题的是：两个三角形的两对角分别相等，利用“三角形的内角和等于180°”，那么第三角必然也相等，所以“角边角”和“角角边”都能判定两个三角形全等。
探究题三：三边分别相等：
△ABC和△DEF中，AB=DF=3，AC=DE=2.5，BC=EF=2. 请根据条件画出合适的图形，并判断两个三角形能否全等。
在画图过程中部分学生会用凑的方法来作图，问他们是否有精确的画图方法，学生稍作思考就会联想到尺规作图，让他们想想这样作图的合理性，有意识地培养学生作图的规范性和有条理的思考与表达。
结论：三边分别相等的两个三角形全等。
探究题四：三角分别相等：
△ABC和△DEF中，∠A=∠D=30°，∠B=∠E=60°，∠C=∠F=90°.请根据条件画出合适的图形，并判断两个三角形能否全等。
学生可能一开始觉得全等，但仔细一想会发现把一个三角形放大或缩小后得到的三角形与原三角形符合三角分别相等的条件，但大小不同，所以不全等。让学生动手画一画，或举出身边的实例，增强直观感受，深刻体会到3个条件判定全等时，其中至少要有1对边相等。
问题三：
有4对、5对元素分别相等的两个三角形是否一定全等？
“SAS、ASA、AAS、SSS、HL ” ，当两个三角形满足三个条件时能判定全等，那么4对、5对元素分别相等一定能判定两三角形全等了?答案是4对、5对元素分别相等的两三角形不一定全等。先鼓励学生大胆构造反例，此题难度较大，必要时予以提醒。反例：在△ABC和△A′B′C′中，AB=A′C′，BC=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′，△ABC和△A′B′C′不全等。
探究题五：边边角的特例
问题四：
已知△ABC和△DEF，请根据下列条件画出合适的图形，并判断两个三角形能否全等。
情形1： △ABC和△DEF中，AB=DE=2，BC=EF=3，∠A=∠D=90°。
情形2：△ABC和△DEF中，AB=DE=2，BC=EF=3，∠A=∠D=100°。
情形3： △ABC和△DEF中，AB=DE=2，BC=EF=3，∠A=∠D=30°。
情形4：△ABC和△DEF中，AB=DE=2，BC=EF=1.5，∠A=∠D=30°。
拓展：：画出△ABC，满足∠A =30°，AB= 2，BC= ，（填出一种情况即可），△ABC是唯一确定的。
学生通过画图操作，不难发现情形1—3画出来的两个三角形都是全等的，完全颠覆了原来对“边边角”不能判定两个三角形全等的认识，情形4能画出两个不全等的三角形来，由此打开了学生对两边分别相等且其中一组等边的对角相等的两个三角是否全等的新的思考。过程中，让学生多想一想，比一比，从分类讨论的角度看待问题，当已知角为直角或钝角时，用“边边角”的条件画出的三角形是确定的，当已知角为锐角时，关乎两条已知边的长短，需要看情况而定，当已知锐角的对边较短时，画出的三角形不唯一。教材中把直角三角形的这种判定叫做斜边、直角边(HL)。通过此题设计，让学生不会对“HL”的出现感到突兀，对“边边角”的情况也有了比较全面的了解。拓展题是对上几种情形的综合概括，需要学生在理解“边边角”各种情况的基础上对知识进一步升华，学生认真审题画图分析思考，现有知识要得出完整的答案有一定难度，题中设计填出一种情况即可适合学生学情。
通过呈现一连串的探究题，让学生在画图操作过程中引发思考，边想边做，顺理成章地复习了《探究两个三角形全等的条件》，有助于学生获得完整的知识体验，避免认知漏洞的出现。
