例谈“以数助形”在初中数学综合解题中的应用

                                       宜兴外国语学校  汤舟  裴姣

“数”与“形”是初中数学的两个主要研究对象，这两方面的内容是紧密联系在一起的。在

初中数学的解题中得以充分的体现，对掌握初中数学起到决定性的作用。“以数

助形”是一种非常重要的数学思想，在初中数学解题中起着关键性的作用。下面用几个例题

来谈一谈“以数助形”在初中数学综合解题中的有效应用。

例1．如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P为线段BC上

的一动点，且和B、C不重合，连接PA，过点P作PE⊥PA交射线CD于点E．聪聪根据学习

函数的经验，对这个问题进行了研究：设BC＝cm，当点P在线段BC上运动时，点E总在

线段CD上， 求的取值范围。

由题意可得随着P点的变化，即BP的长度的变化，CE的长度在变化，所以若把BP的长度看作为自变量，则CE的长度为因变量，从而利用等量关系得到二次函数。

解：∵      ∴∠APE＝90°

∵∠APB＋∠CPE＝90°，∠CEP＋∠CPE＝90°      ∴∠APB＝∠CEP，

又∵∠B＝∠C＝90°     ∴△ABP∽△PCE

设BP的长度为xcm，CE的长度为ycm，

∵△ABP∽△PCE      ∴，即，

∴

∴当时，y取得最大值，最大值为

∵点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上       ∴，解得

∴的取值范围为：

本题考察了代数几何综合题、相似三角形的判定与性质、二次函数最值等知识点，所涉及考

点众多，有一定的难度。用函数的最值就可以轻松解决了问题，是“以数助形”的一次典型

的应用。

例2.在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过点A(3，4)，过点A的直线与轴、轴分别交于B，C两点若△AOB的面积为△BOC的面积的2倍， 

求此直线的函数表达式。

此题中的反比例函数很容易就可以确定，但一次函数的不能完全确定。可以利用面积的关系列出方程，解方程就可以确定待定系数、。

解：∵反比例函数的图象经过点A(3，4)        ∴

∵直线过点A(3，4)    ∴   ∴    ∴

∵直线与轴、轴分别交于B，C两点

∴B（，0），C（0，）      ∴OB＝，OC＝

∵△AOB的面积为△BOC的面积的2倍

∴     ∴  ∴

∴       ∴或

∴（不合题意，舍去）或或

∴或

从这题的解答，通过面积关系列出方程，正确的解出方程的解。可以体会到“以数助形”在

解题中的化繁为简。所以“以数助形”在初中数学综合解题中的应用可以把所有的可能性都

解出来，确保解题的完整性。

例3.如图，点A是反比例函数上的一个动点，过点A作AB∥轴，AC∥轴，分别交函数的图像于点B、C，点D是直线上的动点，请探索在点A运动过程中，以A、B、C、D为顶点的四边形能否为平行四边形，若能，求出此时点A的坐标；若不能，请说明理由。

此题从几何的角度主要是利用平行四边形的性质，单纯用几何关系是很难解决问题。引进参数，利用关系，得到方程，就很容易解决问题了。

解：令A，则B，C

（1）若AB为对角线，则D

∵点D是直线上的动点   ∴  ∴

∵   ∴    ∴A

（2）若AB为边，则或

∵点D是直线上的动点   ∴或

∵   ∴或

∴A或A

∴A或A或A

“以数助形”在解题中可使复杂的问题简单化，有利于开阔学生的数学思维方式，有利于提高学生在数学问题中建立模型的能力，有利于增强学生探求知识的兴趣，感知数学中的美。